Functional Dependencies 與正規化：從 Closure 推到 3NF、BCNF

正規化不是把寬 table 切小的儀式，而是讓每個 fact 只放在能決定它的 determinant 之下，並且只維護一次。

Functional dependency 表示決定關係

X → Y 表示任何兩筆合法資料只要 X 相同，Y 就必須相同。它是對所有合法狀態的規則，不是觀察今天 sample 得到的巧合。

假設 relation R(A,B,C,D,E) 有：

A  → BC
CD → E
B  → D
E  → A

可以用 closure 測試 A 是否為 key：

A⁺ = {A}
A → BC  => {A,B,C}
B → D   => {A,B,C,D}
CD → E  => {A,B,C,D,E}

A⁺ 包含所有 attribute，所以 A 是 superkey。它只有一個 attribute，已經不能再移除，因此也是 candidate key。

白話來說： Closure 是有規則的可達性搜尋。從已知 attribute 開始，反覆套用 FD，直到再也到不了新 attribute。

「最小」是指移除任何 attribute 都不再有完整 closure，不是所有可能 key 中字數最短的那一個。

在例子裡，E⁺ 可以先到 A，再到其他全部 attribute，所以 E 也是 candidate key。找到一個 key 不代表已經找到所有 key。

Minimal cover 通常分三步：

每次嘗試移除後，都要使用剩餘 FD 重新計算 closure。只靠直覺很容易漏掉間接路徑。

Relation 符合 BCNF 的條件是：每條 non-trivial FD X → Y 的左側 X 都必須是 superkey。例子裡若 B → D 成立但 B 不是 superkey，同一個 B 對應的 D fact 就會重複出現在多列。

可依違規 FD 分解：

R1(B,D)
R2(A,B,C,E)

共同 attribute B 可以決定 R1，因此這個 decomposition 是 lossless。

BCNF 消除更多 redundancy，但 BCNF decomposition 可能失去 dependency preservation。3NF 允許右側是 prime attribute 的特殊情況，因此有機會讓原始 constraint 都能在單一 table 中檢查。

3NF synthesis 使用 minimal cover，依 determinant group 建 relation，移除被包含的 relation；如果沒有任何 relation 含 candidate key，再補一個 key relation。

取捨很明確：

Normalization 不會替你決定 index、partition、cache 或 API shape。Normalized model 仍可能很慢。為已量測的 read path 做 denormalization 可以合理，但一定會新增同步責任，必須明確記錄。